Math 150 Notes

1 Introduction

2 Whole numbers

Exercise 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Paradox 1: The Dichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Paradox 2: Achilles and the Tortoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Paradox 3: The Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Paradox 4: Stadium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Another look at Achilles and the Tortoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Hard rocks

3.1 Triangular numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Exercise 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 More ‘ algebra via geometry’

4.1 (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 (z - y)^2 + 2zy = z^2 + y^2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Pythagorean theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercise 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 The quadratic formula (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4.1 Solving x ^2 + bx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.2 Solving x^2 = bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.3 Solving x^2 + c = bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4.4 Summary – quadratic formula ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Square roots ´a la Babylon

Exercise 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercise 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercise 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercise 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1 Higher roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercise 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Elementary number theory

6.1 Prime numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.1.1 Primes, composites, etc. over all integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 A nasty example— the Gaussian integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercise 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercise 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercise 6-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.3 Finding primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3.1 Sieve of Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.4 Greatest common divisors (gcd’s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercise 6-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercise 6-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 6-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 6-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.5 The golden ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercise 6-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercise 6-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercise 6-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercise 6-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Numerals and arithmetic

7.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercise 7-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercise 7-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 Arabic Numerals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Early developments in algebra

8.1 Medieval quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Medieval cubics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.1 Rooting out all the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercise 8-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2.2 Afterword— basic arithmetic of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 8-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3 The quartic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 8-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Polynomials

Exercise 9-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercise 9-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercise 9-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercise 9-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercise 9-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercise 9-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.1 There is no quintic formula! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercise 9-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercise 9-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 The complex numbers

10.1 Polar notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exercise 10-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exercise 10-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2 The complex exponential ; Euler’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.3 de Moivre’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercise 10-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercise 10-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11 Odds and ends

11.1 Real numbers and decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.2 Catch 21:99999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.2.1 Rationals and decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 11-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 11-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 11-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.3 Some other irrationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.3.1 Irrationality of e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.3.2 Irrationality of π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

12 Cardinality and infinite sets

Exercise 12-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercise 12-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercise 12-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercise 12-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12.1 The existence of transcendental numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercise 12-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Exercise 12-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercise 12-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.2 A resolution of one of Zeno’s paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Sequences and convergence

Exercise 13-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercise 13-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercise 13-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercise 13-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercise 13-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
13.1 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exercise 13-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.2 Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercise 13-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercise 13-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercise 13-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercise 13-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercise 13-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercise 13-12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13.5 Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.6 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Technical questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercise 13-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
13.7 Stability of equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Exercise 13-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
13.8 n^th roots, and the Babylonian method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exercise 13-19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

14 Approximation by rationals

14.1 Liouville’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
14.2 Alternating series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercise 14-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 14-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 14-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 14-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.3 Continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.3.1 Arithmetic and Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Exercise 14-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
14.3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exercise 14-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercise 14-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercise 14-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercise 14-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.3.3 Uniqueness of continued fraction representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.3.4 Determining continued fraction expansions - general case . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercise 14-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Exercise 14-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.3.5 Continued fraction for a rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercise 14-12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

15 Computational arithmetic

100

15.1 Binary expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
15.2 What is 500*(1/5) - 100? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercise 15-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.3 Integer arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.4 Rational arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4.1 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.5 Floating point arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.5.1 Standard form, rounding, and Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Exercise 15-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.5.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercise 15-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.5.3 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercise 15-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.5.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.6 Peculiarities with floating point arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.6.1 Relatively small = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.6.2 Addition is not associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
15.6.3 Multiplication is not associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercise 15-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 15-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 15-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
15.7 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 15-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exercise 15-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

16 Completeness

109

16.1 Max, min, sup, inf and all that . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercise 16-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Exercise 16-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
16.3 Some applications of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
16.4 Appendix: a construction of a model of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.4.1 R_mod contains the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.4.2 Arithmetic in R_mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.4.3 Ordering the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.4.4 Cauchy sequences in R_mod have limits in R_mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

17 Afterword - What of Zeno?

119

18 Iteration and chaos

120

18.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Exercise 18-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercise 18-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
18.2 Basic result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.3 “Period three implies chaos” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
18.4 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.5 Another example: quadratic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exercise 18-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.6 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.7 Dynamics of the continued fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Appendix – Basics of logic

128

Logical implication and truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercise A-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Using logic to establish implications (proving theorems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Exercise A-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercise A-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Quantifiers: some, any, and all . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

References

134

Index

135

Start solving your Algebra Problems in next 5 minutes!

Algebra Helper
Download (and optional CD)

Only $39.99

Click to Buy Now:

2Checkout.com is an authorized reseller
of goods provided by Sofmath

Attention: We are currently running a special promotional offer for Algebra-Answer.com visitors -- if you order Algebra Helper by midnight of November 21st you will pay only $39.99 instead of our regular price of $74.99 -- this is $35 in savings ! In order to take advantage of this offer, you need to order by clicking on one of the buttons on the left, not through our regular order page.

If you order now you will also receive 30 minute live session from tutor.com for a 1$!

You Will Learn Algebra Better - Guaranteed!

Just take a look how incredibly simple Algebra Helper is:

Step 1 : Enter your homework problem in an easy WYSIWYG (What you see is what you get) algebra editor:

Step 2 : Let Algebra Helper solve it:

Step 3 : Ask for an explanation for the steps you don't understand:

Algebra Helper can solve problems in all the following areas:

simplification of algebraic expressions (operations with polynomials (simplifying, degree, synthetic division...), exponential expressions, fractions and roots (radicals), absolute values)
factoring and expanding expressions
finding LCM and GCF
(simplifying, rationalizing complex denominators...)
solving linear, quadratic and many other equations and inequalities (including basic logarithmic and exponential equations)
solving a system of two and three linear equations (including Cramer's rule)
graphing curves (lines, parabolas, hyperbolas, circles, ellipses, equation and inequality solutions)
graphing general functions
operations with functions (composition, inverse, range, domain...)
simplifying logarithms
basic geometry and trigonometry (similarity, calculating trig functions, right triangle...)
arithmetic and other pre-algebra topics (ratios, proportions, measurements...)

ORDER NOW!

Algebra Helper
Download (and optional CD)

Only $39.99

Click to Buy Now:

2Checkout.com is an authorized reseller
of goods provided by Sofmath

"It really helped me with my homework. I was stuck on some problems and your software walked me step by step through the process..."

C. Sievert, KY

Sofmath
19179 Blanco #105-234
San Antonio, TX 78258

Phone: (512) 788-5675
Fax: (512) 519-1805

Math 150 Notes

Contents