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Math 150 Notes

Contents

1 Introduction 1
2 Whole numbers 1

Exercise 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Paradox 1: The Dichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Paradox 2: Achilles and the Tortoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Paradox 3: The Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Paradox 4: Stadium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Another look at Achilles and the Tortoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Hard rocks 5

3.1 Triangular numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Exercise 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 More ‘ algebra via geometry’ 10

4.1 (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 (z - y)^2 + 2zy = z^2 + y^2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Pythagorean theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercise 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 The quadratic formula (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4.1 Solving x ^2 + bx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.2 Solving x^2 = bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.3 Solving x^2 + c = bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4.4 Summary – quadratic formula ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Square roots ´a la Babylon 15

Exercise 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercise 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercise 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercise 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1 Higher roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercise 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Elementary number theory 19

6.1 Prime numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.1.1 Primes, composites, etc. over all integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 A nasty example— the Gaussian integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercise 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercise 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercise 6-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.3 Finding primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3.1 Sieve of Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.4 Greatest common divisors (gcd’s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercise 6-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercise 6-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 6-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 6-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.5 The golden ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercise 6-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercise 6-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercise 6-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercise 6-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Numerals and arithmetic 30

7.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercise 7-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercise 7-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 Arabic Numerals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Early developments in algebra 35

8.1 Medieval quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Medieval cubics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.1 Rooting out all the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercise 8-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2.2 Afterword— basic arithmetic of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 8-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3 The quartic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercise 8-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Polynomials 45

Exercise 9-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercise 9-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercise 9-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercise 9-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercise 9-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercise 9-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.1 There is no quintic formula! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercise 9-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercise 9-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 The complex numbers 53

10.1 Polar notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exercise 10-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exercise 10-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2 The complex exponential ; Euler’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.3 de Moivre’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercise 10-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercise 10-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11 Odds and ends 57

11.1 Real numbers and decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.2 Catch 21:99999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.2.1 Rationals and decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 11-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 11-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 11-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.3 Some other irrationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.3.1 Irrationality of e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.3.2 Irrationality of π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

12 Cardinality and infinite sets 62

Exercise 12-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercise 12-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercise 12-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercise 12-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12.1 The existence of transcendental numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercise 12-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Exercise 12-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercise 12-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.2 A resolution of one of Zeno’s paradoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Sequences and convergence 69

Exercise 13-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercise 13-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercise 13-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercise 13-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercise 13-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
13.1 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exercise 13-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13.2 Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercise 13-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercise 13-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercise 13-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercise 13-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercise 13-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercise 13-12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13.5 Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.6 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Technical questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercise 13-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 13-17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
13.7 Stability of equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Exercise 13-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
13.8 nth roots, and the Babylonian method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exercise 13-19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

14 Approximation by rationals 84

14.1 Liouville’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
14.2 Alternating series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercise 14-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 14-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 14-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 14-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.3 Continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.3.1 Arithmetic and Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Exercise 14-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
14.3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exercise 14-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercise 14-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercise 14-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercise 14-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.3.3 Uniqueness of continued fraction representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.3.4 Determining continued fraction expansions - general case . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercise 14-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Exercise 14-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.3.5 Continued fraction for a rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercise 14-12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

15 Computational arithmetic 100

15.1 Binary expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
15.2 What is 500*(1/5) - 100? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercise 15-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.3 Integer arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.4 Rational arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4.1 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.5 Floating point arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.5.1 Standard form, rounding, and Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Exercise 15-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.5.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercise 15-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.5.3 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercise 15-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.5.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.6 Peculiarities with floating point arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.6.1 Relatively small = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.6.2 Addition is not associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
15.6.3 Multiplication is not associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercise 15-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 15-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 15-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
15.7 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 15-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exercise 15-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

16 Completeness 109

16.1 Max, min, sup, inf and all that . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercise 16-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Exercise 16-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
16.3 Some applications of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
16.4 Appendix: a construction of a model of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.4.1 Rmod contains the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.4.2 Arithmetic in Rmod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.4.3 Ordering the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.4.4 Cauchy sequences in Rmod have limits in Rmod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

17 Afterword - What of Zeno? 119
18 Iteration and chaos 120

18.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Exercise 18-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercise 18-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
18.2 Basic result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.3 “Period three implies chaos” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
18.4 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.5 Another example: quadratic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exercise 18-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.6 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.7 Dynamics of the continued fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Appendix – Basics of logic 128

Logical implication and truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercise A-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Using logic to establish implications (proving theorems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Exercise A-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercise A-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Quantifiers: some, any, and all . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

References 134
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